脳を鍛える問題にチャレンジ！！
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう！
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。
問題
下の図は、点をたて、横同じ間隔で6個ずつ、計36個並べたものです。
これらの点の中から4個の点を選び、選んだ点を頂点とする四角形を作ります。
四角形が正方形となる4点の選び方は全部で何通りありますか。
解説
正方形の大きさで場合分けをして求めてみましょう。正方形の大きさは1辺の長さで決まります。斜めの辺があることに注意しましょう。
斜めの辺があるときとないときで分けて、場合を分けて数えます。
☆I 斜めの辺を使わないとき
- 1: 1辺が1のとき 正方形は5×5＝25通り
- 2: 1辺が2のとき 正方形は4×4＝16通り
- 3: 1辺が3のとき 正方形は3×3＝9通り
- 4: 1辺が4のとき 正方形は2×2＝4通り
- 5: 1辺が5のとき 正方形は1×1＝1通り
1:〜5:で55通り
☆II 斜めの辺を使うとき
- 1:のとき 16通り
- 2:のとき 18通り
- 3:のとき 8通り
- 4:のとき 2通り
- 5:のとき 4通り
- 6:のとき 2通り
1:〜6:で50通り
I、IIより全部で105通り
別解
もとの5×5の正方形を1×1、2×2、3×3、4×4、5×5の5つの正方形に分けて考え、そのそれぞれの正方形の辺上に頂点を持つ正方形を数えます。
1: 1×1の正方形のとき
1×1の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は1通り
2: 2×2の正方形のとき
2×2の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は2通り
3: 3×3の正方形のとき
3×3の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は3通り
4: 4×4の正方形のとき
4×4の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は4通り
5: 5×5の正方形のとき
5×5の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は5通り
また、もとの正方形に1×1の正方形は5×5＝25通り、2×2の正方形は4×4＝16通り、3×3の正方形は3×3＝9通り、4×4の正方形は2×2＝4通り、5×5の正方形は1×1＝1通りあるので、求める正方形は、
1×25＋2×16＋3×9＋4×4＋5×1＝105通り
解答
105通り
