脳を鍛える問題にチャレンジ！！
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう！
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。
次のように、すべての位がの数字が9で、桁の数が1つずつ増えていく足し算があります。
9＋99＋999＋9999＋99999＋・・・
この計算を9が9999個並ぶ数まで続けると、計算の結果にはいくつの1が現れますか。
正解者用掲示板のパスワードには、
計算の結果に現れる1の数を半角数字で入力してください。
例えば、5432個であるときは「5432」と入力してください。
解説
9が並んだ数は次のように表すことができます。
9＝10−1
99＝100−1
999＝1000−1
9999＝10000−1
・・・
9999…9999[9が9999個並んだ数]＝1000…000[初めの1の後ろに0が9999個並んだ数]−1
これを利用して、9＋99＋999＋9999を考えてみると次のように計算することができます。
9＋99＋999＋9999
＝(10−1)＋(100−1)＋(1000−1)＋(10000−1)
＝10＋100＋1000＋10000−1×4
＝11110−4
＝11106
同様に考えると、9＋99＋999＋9999＋・・・＋9999…9999[9が9999個並んだ数]の計算は、
9＋99＋999＋9999＋・・・＋9999…9999[9が9999個並んだ数]
＝(10−1)＋(100−1)＋(100−1)＋(1000−1)＋(10000−1)＋
・・・＋(10000…0000[1の後ろに0が9999個並んだ数]−1)
＝10＋100＋1000＋10000＋・・・＋10000…0000[1の後ろに0が9999個並んだ数]−1×9999
＝11111…11110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]−9999
ここで、9999＝10000−1なので、
11111…11110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]−9999
＝11111…111110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]−(10000−1）
＝11111…11110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]＋1−10000
＝11111…11111[1が10000個並んだ数]−10000
＝11111…01111[万の位だけ0で残りはすべて1の数（1は9999個）]
解答
9999個
>>次回出題は2011/3/28(15時)です、お楽しみに♪
正解者用掲示板の過去ログ公開
正解者用掲示板に投稿いただいた投稿者とコメントを公開
※原則として10番目の投稿まで公開いたします。
※メールアドレスは公開いたしません。
| 投稿者 | 投稿日時 | コメント |
|---|---|---|
| 塾長 さん | 02/28 21:51:22 | 1がいっぱいですね。 |
| YU さん | 02/28 22:00:47 | 定番かな（＾＾） |
| エウレーカ さん | 02/28 22:23:35 | 高校で習う級数の知識を使ってしまったけど、 小学生に説明できる解法はないだろうか？ |
| パナタ さん | 03/01 09:07:56 | 簡単すぎて拍子抜けしてしまいました＾＾； 和をxとすると、 x + 9999 = 11111………11110(10000桁) 9999を移項しても1の数は変化しないので 結局、1の数は9999個 |
| りゅう さん | 03/01 14:51:58 | 難しかったです。繰り上がりがあって、 どう考えたらよいのかわかりませんでした。 まず、各桁ごとに繰り上がりを考慮しない計算値 （便宜上Ａとします）を出してみました （下から１桁目 9*9999=89991...）。 その上で、上の方と下の方の何桁かを繰り上がりを 考慮して試算してみました。 下から５桁目だけ例外的に０になることがわかりました。 各桁の足す数字を眺めていると、1つ目が1減ったときは、 2つ目が1増えるなどしており、Ａの桁数が変わるところ でも同様であることから回答としました。 数学的に解いていないので正解とは言えませんね。 もう少し、考えてみます。 |
| 匿名 さん | 03/01 19:24:03) | 9+99+999+…+(9が9999桁並ぶ数) =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+…+{(1の後に0が9999桁並ぶ数)-1} =10+100+1000+…+(1の後に0が9999桁並ぶ数)-1×9999 =10+100+1000+…+(1の後に0が9999桁並ぶ数)-9999 =10+100+1000+…+(1の後に0が9999桁並ぶ数)+1-10000 =(1が9999桁並び、最後の桁が0の数)+1-10000 =(1が10000桁並ぶ数)-10000 したがって、1は9999個並ぶ |
| ロイヤルロード さん | 03/02 12:03:35 | 少々疲れましたが、楽しく解かせていただきました。 |
| 古松坂２号 さん | 03/03 18:25:14 | 9999個の数に全て１を加えると１が9999個並んだ後に 0が付いた数になる。 そこから加えた9999を引くと，１が9995個並んだ後に 01111が付いた数になる。 よって，１の数は9995＋4個になるんだよね。 いやいや，おもしろいなぁ〜。 |
| みかん さん | 03/05 17:33:32 | 久しぶりの投稿 |
| つも さん | 03/06 16:31:03 | 9+99+・・・99999999…を (10^1-1)＋（10^2-1）+・・・＋（10^10000-1） と置き換えると、 (10^1+10^2+10^3+・・・+10^10000)-(1+1+1+1+1+1・・・) となる。 左側は11111111…と1が10000個並び、右側は10000 よって、10000桁目が0となって、それいがいは 1が9999個存在するという考え方です。 |
