脳を鍛える問題にチャレンジ！！
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう！
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。
問題
105をいろいろな正の整数で割る割り算をしてみます。
105を4や20で割ると、
- 105÷4＝26.25
- 105÷20＝5.25
となり、小数第2位で割り算が終わります。
4や20のように、105を割ったとき、割り算が小数第2位で終わる正の整数は全部でいくつあるでしょうか。
解説
この問題を解くためには、どういった数で割れば割り算が小数第2位で終わるのかを考えなければなりません。
問題では小数第2位で終わる場合を問われていますが、まず小数点までに割り算が終わる場合から考えてみましょう。 105を割るので、3や5などの105の約数で割れば割り算は割り切れて小数点までに終わりますね。
では、小数第1位で終わるのはどんな数で割ったときでしょうか。
例えば、105を2や6で割れば、割り算は小数第1位で終わります。
- 105÷2＝52.5
- 105÷6＝17.5
ここで、割られる数を105を10倍した1050にして2と6で割ってみます。
- 1050÷2＝525
- 1050÷6＝175
割り切れますね。
105を割る割り算が小数第1位で終わるのは、1050を割って割り切れる数、つまり1050の約数で割ったときということです。
しかし、1050の約数には105の約数が含まれていることに注意しなければなりません。
105の約数で割ってしまっては、割り切れてしまうので、除かなくてはなりません。
「1050の約数であって105の約数でない数」で割れば小数第1位で割り算が終わります。
問題の割り算が小数第2位で終わるときも同じように考えます。
問題文の「105を割ったとき、割り算が小数第2位で終わる正の整数」とは「10500の約数であって、1050の約数でない数」と言い換えることができます。
では、このような数は全部でいくつあるでしょうか。
約数の個数は素因数分解を利用すると簡単に求めることができます。
1050を素因数分解すると、
1050＝2×3×5×5×7
となり、素数は2と3と7が1回ずつ、5が2回でてきます。
よって1050の約数の素因数分解は、2と3と7は1回まで、5は2回までかけたものとなります。
つまり、1050の約数は、
（1または2）×（1または3）×（1または5または25）×（1または7）
と表すことができます。
（1または2）、（1または3）、（1または7）でそれぞれ2通り、（1または5または25）で3通りの選び方があるので、1050の約数は全部で
2×2×3×2＝24通り
10500の約数の個数も素因数分解を利用して同じように求めると、
10500＝2×2×3×5×5×5×7
となり、
（1または2または4）×（1または3）×（1または5または25または125）×（1または7）
なので、
3×2×4×2＝48通り
よって、「10500の約数であって、1050の約数でないもの」は全部で
48−24＝24個
となります。
- 参考
- 約数の個数
解答
24個
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| 投稿者 | 投稿日時 | コメント |
|---|---|---|
| shoo さん | 10/01 12:40:58 | 少し手こずりましたができました。 逆算するのがキーポイントかな？？？？ |
| E さん | 10/05 12:57:13 | 10500の正の約数の個数から1050の正の約数の個数を引け ばいいのですよね |
| サイゴン さん | 10/06 04:04:45 | こんなの簡単^^ |
| taka-ary さん | 10/09 12:01:04 | 約数に着目して答えを出しました！ 小数第2位が0になるものがあるから、なんだか複雑になります(^^;) |
| t-ajima さん | 10/12 16:57:41 | 105を素因数分解してしてからどうアプローチしようか てこずりました･･･ 解けてよかったです(＾＾) |
| Kim Jong Il さん | 10/16 19:12:32 | 100倍してみたら。 良い習慣は大事だよ。 エリートの良い習慣を我々が会得できるか、それが問題だ。 ローヤルゼリーとハチミツほどの差があるのだ。 問題：10500は何回2で割り切れるだろうか？ これからの日本の理数エリートはキミだ。 我々は絶対屈してはならない、絶対に、絶対に、絶対に・・・！ 世界の数理エリート諸君、哲学･倫理の爪を磨け！ 言葉は沈黙に 光は闇に 生は死の中にこそあるものなれ 飛翔せる鷹の虚空にこそ翔けるごとくに 携帯電話一台のために、何人が命を落としたのだろうか？ エリート諸君、世界と対等に渡り合うためには、 どうすべきかわかっているか？ |
| sakura さん | 10/16 22:58:00 | せっかく解けたので残しておきます 105/a=c/100 （cは10の倍数ではない） で考えました |
